神奇的螺线

在人类认识和研究自然的过程中，人类学会了使用数字并用数字传递和表达自然界的某种信息，在几千年的长期实践和积累的过程中逐渐形成了我们今天广泛使用的一门科学——数学。数学是一个浩瀚的信息王国，这个王国里记录着所有人类的智慧，其中有一种神奇的发现——螺旋线，至于螺旋线的名字的来历，有记载说是源自于古希腊“卷曲”之意，其实按字面意思理解的话，最初的发现者一定和螺有着不解之缘。 

 简单来说，螺旋线是指绕某个点旋转所产生的轨迹，其中的参数不同所产生的螺旋线的形状也各不相同，当然在立体的三维空间里也产生了另外的螺旋形态。目前，在数学领域螺旋线按照空间划分为：二维螺旋线（阿基米德螺线、费马螺线、等角螺线、双曲螺线、圆内螺线、弯曲螺线、连锁螺线、柯奴螺线、欧拉螺线）和三维螺旋线（圆柱螺旋线、圆锥螺旋线）。 

 在平时的生活中，我们经常听到或使用的到几个螺旋线：等角螺线、等速螺线、对数螺线、黄金螺线、斐波那契螺线，它们是什么呢？它们的区别和联系是什么呢？ 

贝壳与等速螺线 

 我们来看一组图片： 

 在上面的4幅图里，图1是菊石化石，图2是翁戎螺，图3是等速螺线，图4是车轮螺。这些图是不是有类似的地方呢？在贝壳的世界里有着哪些数学里的神奇奥秘呢？ 

 上面这些贝壳的螺旋线都与等速螺线近似。贝壳在地球上已经出现了5亿年，而数学则是人类更好地解读大自然的一门科学而已。大自然蕴藏着很多很多惊人而神奇的奥秘，贝壳就是如此。什么是等速螺线呢？等速螺线又称为阿基米德螺线，得名于公元前3世纪（2200年前）希腊数学家阿基米德。阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹。当固定的角度为90度的时候就是我们上图所看到的等速螺线了。 

 贝壳作为生物的外壳，形状、颜色、结构等特点都值得我们去研究。其中贝壳结构中的螺旋线更加神奇。其外壳上的螺旋线呈现出类似阿基米德螺线的形状，但是从严格意义上来看又不完全符合等速螺线；究其原因：有很多很多的海螺的螺线其实都是等角螺线和等速螺线的完美结合，即在螺线生长的概念上纵向表现为等速螺线，而横向表现为等角螺线，整个贝壳是两种螺线的3D模型的有机结合体。 

 其实，这一切是源于我们对海螺外形认识的不足。对于贝壳来说，其中心的原点才是整个贝壳的原点，贝壳的生长是从中心点按照生物遗传学规律生长和扩展的，这是在亿万年的进化中延续下来的适应能力，从哲学的角度上来说，螺旋上升的理念在贝壳身上体现得更加淋漓尽致。

 阿基米德螺线 

 阿基米德（约公元前287—前212），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家、静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称。阿基米德确立了静力学和流体静力学的基本原理。给出许多求几何图形重心，包括由一抛物线和其网平行弦线所围成图形的重心的方法。阿基米德证明物体在液体中所受浮力等于它所排开液体的重量，这一结果后被称为阿基米德原理。他还给出正抛物旋转体浮在液体中平衡稳定的判据。阿基米德发明的机械有引水用的水螺旋，能牵动满载大船的杠杆滑轮机械，能说明日食、月食现象的地球-月球-太阳运行模型。但他认为机械发明比纯数学低级，因而没写这方面的著作。阿基米德还采用不断分割法求椭球体、旋转抛物体等的体积，这种方法已具有积分计算的雏形。 

贝壳与等角螺线 

 所谓等角螺线就是向径和切线的交角永远不变的曲线。也许正是这神奇的形状，让苏格兰博物学家和数学家汤普森语出惊人：地球上所有动物和植物只有通过数学才能理解！ 

 有机会大家再去动物园可瞧仔细了：象鼻、羊角、鹦鹉的爪子等也都是成等角螺线形的。圆网蛛能织出这种曲线，许许多多贝壳动物身上都有这种曲线。

 令人惊奇的是，人们在一种中生代化石——菊石上发现了这种漂亮的曲线；用天文望远镜观察到的星云中也有螺线形状的！难怪法布尔会惊叹： 几何以及面积上的和谐，支配着一切。几何存在于松果鳞片的布置中，也存在于圆网蛛的黏胶丝上；蜗牛的螺旋上升斜线里有几何，蜘蛛网的念珠里有几何，行星轨道里也有几何；几何到处存在，不管在原子世界里，还是在无限辽阔的宇宙中，几何都是非常高明的！”

 等角螺线是由笛卡尔在1 6 3 8年发现的。等角螺线的臂的距离以几何级数递增。等角螺线是自我相似的；这即是说，等角螺线经放大后可与原图完全相同。雅各布•伯努利后来重新对其进行研究。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将其刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。 

笛卡尔心形螺线 

 笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆暴发黑死病时他流浪到瑞典，认识了瑞典一个小公国18岁的小公主克里斯蒂娜（Kristina），后成为她的数学老师，日日相处使他们彼此产生爱慕之心，公主的父亲国王知道后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，后因女儿求情将其流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来。笛卡尔回法国后不久便染上黑死病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀一直没收到笛卡尔的信。笛卡尔在给克里斯汀寄出第13封信后就气绝身亡了， 这第1 3封信内容只有短短的一个公式：r =a（ 1 - s i n θ ） 。国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，大发慈悲就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀，公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。公主在纸上建立了极坐标系，用笔在上面描下方程的点，看到了方程所表示的心脏线，理解了笛卡尔对自己的深深爱意。这也就是著名的“笛卡尔心形螺线”。国王死后，克里斯蒂娜登基，立即派人在欧洲四处寻找心上人，无奈斯人已故，先她走一步了，徒留她孤零零在人间…… 

 据说这封享誉世界的另类情书还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。这只是一个美丽的传说，在实际历史上，笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情。但笛卡尔是1649年10月4日应克里斯蒂娜邀请才来到瑞典，而当时克里斯蒂娜已成为了瑞典女王。笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学问题而不是数学。有资料记载，由于克里斯蒂娜女王时间安排很紧，笛卡尔只能在早晨五点与她探讨哲学。笛卡尔真正的死因是因天气寒冷加上过度操劳患上的肺炎，而不是黑死病。这个故事也从另外一方面看出后人对笛卡尔终生成就的赞扬和肯定。 

贝壳的完美螺线 

 贝类的螺旋轮廓线显示生长过程的积淀方式，它已经成为许多科学研究与艺术研究的课题。贝类的这些成长方式是以各种黄金分割比例形成的对数螺旋线，它们被认为是完美生长方式的理论，同时，贝类螺旋轮廓线也是自然界静态的完美螺线。 

贝壳与黄金螺线 

 在黄金矩形（宽长之比为0.618的矩形）里靠着三边做成一个正方形，剩下的那部则又是一个黄金矩形，可以依次再做成正方形。将这些正方形中心都按顺序连结，可得到一条“黄金螺线”。一直有一种谣传说在鹦鹉螺的身上和一些动物角质体上，或有甲壳的软体动物身上，都曾发现有“黄金螺线”。黄金螺线的每一点的曲率的变化率是相等的，因为黄金螺线由n个半径大小成黄金比例关系的1/4圆构成。但也因此，曲率在每个1/4圆的交接的地方是不连续的，既整个黄金螺线的曲率并不连续。对于一个无时无刻不在生长的甲壳来说，这显然是不可能的。其实鹦鹉螺身上的螺线是一种天然螺线，是生物在自然界经过若干年长期的自然选择而形成的固有的自然形态，所以把鹦鹉螺的外壳的螺线说成是黄金螺线的说法并不准确。数学源于自然，但总是不能完全表达自然的秘密。